Муфтеев В.Г., Марданов А.Р. Геометрическое моделирование кривых и поверхностей высокого качества. Прикладная геометрия. Applied Geometry [Электронный ресурс]: науч. журн. / Моск. авиационный ин-т (гос.техн.университет) "МАИ". - Электрон. журн. - Москва : МАИ, 2006. - №8; вып.18, -стр. 67-89. - Режим доступа к журн.: http://www.mai.ru. - Загл. с титул. экрана. - №гос.регистрации 019164.
Исследуются свойство изогеометричности (геометрического подобия) формы управляющих полигонов и формы b-сплайновых кривых произвольных степеней. Для повышения порядка гладкости кривой, моделируемой v-кривой, предлагается изогеометрический (с точностью до заданной структуры кривой линии) метод аппроксимации v-кривой, заданной комбинированным геометрическим определителем вида касательной ломаной с фиксированными точками инцидентности на звеньях, посредством b-сплайновых кривых высоких степеней. Метод обобщается на моделирование поверхности, заданной геометрическим определителем вида касательного многогранника (аналога фрейма квадратичной b-сплайновой поверхности).
Спецификации требований к методам моделирования кривых высокого качества наиболее полно отвечает метод моделирования v-кривых класса уплотнением геометрического определителя нелинейных сплайна на базисе дважды соприкасающихся кривых второго порядка (К2П). Метод обеспечивает возможность моделирования плавных кривых с минимальным числом вершин кривой. Для повышения порядка гладкости моделируемой кривой предлагается метод изогеометрической аппроксимации v-кривой посредством b-сплайновой кривой высокой степени. Исследована геометрическая связь формы сплайнового s-полигона и сплайновой кривой произвольной степени. Доказана теорема о строгом геометрическом подобии сплайнового s-полигона регулярной порядка m формы и сплайновой кривой степени m. На основе свойства изогеометричности сплайнового s-полигона регулярной порядка m формы и сплайновой кривой степени m предложен метод изогеометрической и точной аппроксимации v-кривой посредством b-сплайновой кривой высокой степени. Предлагается итерационный регуляризующий алгоритм приближения. Ключевым моментом в предлагаемом итерационном алгоритме является то, что область корректности решения ограничивается условием изогеометричности s-полигона форме геометрического определителя v-кривой (касательной ломаной). Суть регуляризующего алгоритма в том, что на локальном участке кривой невязка приближения уменьшается путем параллельного смещения звена s-полигона на величину невязки. В качестве граничных условий используются универсальные условия симметрии, инвариантные относительно степени сплайновой кривой: 1) условие замкнутости кривой; 2) условие симметрии дополнительных вершин относительно прямой, проходящей через начальную (конечную) точку v-кривой перпендикулярно первому (последнему) звену фрейма v-кривой; 3) условие центральной симметрии дополнительных вершин относительно первой (последней) точки v-кривой. Комбинированный метод моделирования кривых (построение v-кривой и аппроксимация v-кривой посредством b-сплайновой кривой высокой степени) позволяет моделировать кривые линии высочайшего качества. В комбинированном методе суммируются достоинства обоих методов: v-кривая обеспечивает интегральную плавность кривой, b-сплайновая кривая обеспечивает локальную плавность (высокий порядок гладкости) кривой. Предложенный метод обобщен на моделирование поверхностей с помощью геометрического определителя вида касательного многогранника (фрейма v-поверхности). Достоинства комбинированного метода сохраняются при моделировании поверхности: 1) фрейм v-поверхности аналогичен фрейму квадратичной b-сплайновой поверхности и с такой же точностью позиционируют моделируемую поверхность на чертеже; 2) v-поверхности, аппроксимированные b-сплайновыми поверхностями высоких степеней, обеспечивают высокое качество моделируемых поверхностей. Комбинированные методы моделирования кривых и поверхностей также расширяют возможности редактирования кривых и поверхностей. Кривые и поверхности можно редактировать как на уровне фреймов v-кривых и v-поверхностей, так и на уровне фреймов b-сплайновых кривых и b-сплайновых поверхностей. | 
