Геометрические параметры криволинейных поверхностей часто является определяющими для проектных характеристик объекта. К таким объектам относятся изделия с динамическими обво­дами (или функциональными поверхностями) в авиастроении, автомобилестроении, судостроении, энер­гетическом и химическом машиностроении, сельхозмашиностроении.

Устойчивость формообразования параметрических кривых линий ?>и поверхностей  является основным критерием качества методов моделирования в инженерной геометрии и компьютерной графике. Авторами устойчивость метода моделирования рассматривается как изогеометрическая определенность кривой / поверхности на комплексном чертеже. Кривая / поверхность изогеометрически определена на проекции, если форма проекции геометрического определителя (ГО) однозначно определяет форму  проекции кривой / изопараметрических линий поверхности.  Кривая / поверхность изогеометрически определена в пространстве, если кривая / поверхность изогеометрически определена на ортогональных проекциях комплексного чертежа.  Разработаны формальные критерии визуальной оценки изогеометрической определенности NURBS кривой / поверхности по конфигурации s-полигона / s-многогранника на проекциях комплексного чертежа.

Способ построения поверхности на сети кривых (как, например,  uv-плазовая (uv-loft) поверхность в AutoCAD) является одним из  основных способов. Актуальной задачей является выработка формальных критериев визуальной оценки геометрической определенности поверхности, моделируемой  на сети кривых, на проекциях комплексного чертежа.

К качеству геометрических характеристик функциональных поверхностей предъявляются особые требования. Методы моделирования должны соответствовать  требуемому качеству функциональной поверхности изделия. В последнее время интенсивно ведутся разработки методов моделирования кривых линий высокого качества по критериям плавности.  Основными критериями качества кривой являются порядок гладкости и плавность кривой.  Синоним понятия "кривая высокого качества” это "плавная кривая” ("faircurve”). Этот термин появился в работах, посвященных улучшению  качества кубических параметрических сплайнов.

Актуальной задачей является выработка научно обоснованных критериев оценки плавности кривых линий при моделировании функциональных поверхностей технических объектов.

Общая   схема моделирования  кривой линии  состоит из следующих основных этапов.

I). Эскизирование кривой. Первоначальная информация о кри­вой может быть задана в виде а) лекальной кривой или её диск­ретного представления, б) множества точек, снятых с натурного макета с помощью измерительной системы, в) линии, проведенной конструктором на бумаге или экране графического дисплея и за­фиксированной в виде дискретного множества точек,  г) редкого дискретного множества точек, через которые должна пройти кривая, д) фиксированной аналитической кривой.

2). Построение на эскизе кривой геометрического определителя (ГО), задающего геометрическую структуру кривой.

3). Изогеометрическая аппроксимация ГО аналитической (кусочно-аналитической) кривой заданного класса или построение алгоритма генерации точек кривой на заданных параметрах ГО.

4). Переход к другому типу определителя кривой путем эквивалентного преобразования или  путем изогеометрической  аппроксимации  определителя кривой для ее редактирования с помощью параметров нового ГО.

5). Переход к другому типу определителя кривой путем эквивалентного преобразования или  путем изогеометрической  аппроксимации  определителя кривой для решения метрических и позиционных задач в CAD системе. В этом случае новый определитель кривой называется шаблоном кривой.

Наиболее естественными видами ГО линий являются ломаные точек инцидентности и касательные ломаные. При этом предполагается,  что конструируемая кривая последовательно проходит через точки ломаной инцидентности и конфигурация ломаной изогеометрично определяет форму кривой. При задании структуры кривой касательной ломаной, кривая проходит последовательно по звеньям ломаной, касаясь каждого звена в  одной точке.  Форма касательной ломаной изогеометрично определяет форму кривой.

ГO может быть управляющим полигоном (s-полигоном)  NURBS кривой. S-полигон обычно используется в качестве начального приближения в методе эвристической подгонки b-сплайновой кривой. А также в итерационных и эволюционных методах построения b-сплайновых кривых. В любом случае, форма s-полигона должна  однозначно задавать структуру (форму) моделируемой кривой. Часто в качестве первоначального приближения s-полигона принимается касательная ломаная  или ломаная инцидентности.

В работах авторов предложена новая схема построения сплайновой кривой.  В данной схеме сплайновая кривая рассматриваются как геометрическая модель  (определитель) кривой в инженерной геометрии. Описание определителя сплайновой кривой в предложенной схеме  выполняется  привлечением т.н. "теории параметризации” или "исчисления параметров”, впервые введенной в прикладную геометрию акад. Н.Ф.Четверухиным.

В схеме задается глобальный ГО кривой в виде ломаной инцидентности или касательной ломаной.  Сплайновая кривая (обвод) рассматривается как сложная фигура,  составленная из непроизводных аналитических кривых по определенным геометрическим условиям связи с элементами глобального ГО и условиям связи смежных аналитических кривых. Такими связями является совпадение точек, касательных и кривизны в точках ГО кривой.

В статье ставится задача развития и обобщения данной схемы построения определителя сплайновой кривой.

Различные виды ГО имеют свои достоинства и недостатки. Ломаная инцидентности позволяет точно позиционировать кривую, касательная ломаная однозначно и точно задает  форму моделируемой кривой, s-полигон NURBS кривой высокой степени позволяет  локально редактировать форму кривой и может обеспечить высокое качество пространственных кривых по критериям плавности кривизны и кручения.

Метод v-кривой позволяет использовать два вида ГО – ломаную инцидентности и касательную ломаную для моделирования плоских кривых высокого качества (5-го порядка гладкости с плавным изменением кривизны).

Разработан комбинированный метод построения кривых линий высокого качества на плоской и пространственной ломаной точек инцидентности   или пространственной касательной ломаной произвольной конфигурации.  Метод представляет последовательность  построения v–кривой для структуризации исходной ломаной и изогеометрического построения b-сплайновой кривой произвольной степени на структурированной ломаной. Недостатком является небольшая точность при восстановлении b-сплайновой кривой на пространственной ломаной с кручением.

Актуальной задачей является разработка интерактивного метода изогеометрического моделирования кривой линии высокого качества по критериям плавности с одновременным использованием трех видов ГО в одном сеансе моделирования кривой и с обеспечением точного перехода от одного вида ГО к другому в любом направлении.

Цель данной статьи: дать систематизированный обзор  научных результатов исследований и разработок авторов в рамках научного направления "Изогеометрическое моделирование  кривых линий и поверхностей высокого качества по критериям плавности в инженерной геометрии и компьютерной графике” и решить следующие задачи:

- исследовать и развить схему построения определителя сплайновой кривой как сложной фигуры,  составленной из непроизводных аналитических кривых по определенным геометрическим условиям связи с элементами глобального ГО  и условиям связи смежных аналитических кривых.

- выработать научно обоснованные формальные критерии оценки качества геометрических характеристик функциональных кривых и поверхностей;

-  разработать интерактивный метод изогеометрического моделирования кривой линии высокого качества по критериям плавности с одновременным использованием трех видов ГО в одном сеансе моделирования кривой и с обеспечением точности перехода от одного вида ГО к другому в любом направлении.

- исследовать метод моделирования поверхности на сети кривых линий, разработать формальные критерии визуальной оценки изогеометрической определенности поверхности;