Применение кривых высокого качества при моделировании профилей кулачков
Муфтеев В.Г., Бадретдинов И.Д., Марданов А.Р., Тархова Л.М., Фархутдинов И.М.
(Башкирский ГАУ)
(к публикации)

Кулачковые механизмы широко используются в регулирующих и исполнительных механизмах.
В общем случае к геометрическим свойствам профилей кулачков и, соответственно, к методам профилирования и к методам геометрического представления профилей предъявляются следующие требования:
1) высокий порядок гладкости (не ниже 5-го порядка). Несоблюдение этого требования буквально “дорого” обошлось владельцам “жигулей” 70-х годов прошлого века [1];
2) плавность изменения дифференциальных характеристик, влияющих на ускорение (acceleration) и динамический удар (jerk) [2,3];
3) сохранение постоянства диаметра кулачка на участках “выстоя” толкателя [3].
Существующие методы не обеспечивают одновременно все требования к геометрическим свойствам профилей кулачков;
Для моделирования или улучшения профилей кулачков высокого качества предлагается использовать авторскую Программу, реализующую методы моделирования кривых линий высокого качества [4].
Покажем возможности Программы на примере построения участка сопряжения двух окружностей с общим центром и радиусами 50 и 100. Это основная геометрическая задача, которая возникает при профилировании выпуклого плоского кулачка, профиль которого содержит два участка из дуг окружностей, связанных переходными кривыми.
Для построения профиля высокого качества может использоваться команда V_Curve построения v-кривой (кривой пятого 5-го порядка гладкости с плавным изменением кривизны [4]) на геометрическом определителе вида опорной ломаной или касательной ломаной.
Предварительно подготавливается исходная ломаная на многоугольниках с числом вершин 24 и 48, вписанных в окружности радиусов 50 и 100 (рис. 1, слева). Затем на ломаной с строятся сплайновые кривые командой _SPLINE AutoCAD для сравнения качества (на рис. 1, справа - кривая синего цвета) и командой V_Curve авторской Программы-приложения AutoCAD (на рис. 2, справа - кривая зеленого цвета). б) построение сплайновых кривых на ломаной (ломаная выделена)




а) б)

Рис. 1. Моделирование профиля кулачка а) подготовка ломаной на многоугольниках, вписанных в окружности радиусов 50 и 100; б) построение сплайновых кривых на ломаной (ломаная выделена).

Затем с помощью команды V_Test программы FairCurveModeler выполняется тестирование сплайновых NURBS кривых, построенных командой _SPLINE AutoCAD (рис. 1, слева) и командой V_Curve (рис. 2, справа) авторской Программы-приложения AutoCAD. Показаны графики кривизны светло-синего цвета.



а) б)
Рис. 2. Тестирование сплайновых NURBS кривых, построенных а) командой _SPLINE AutoCAD; b) командой V_Curve авторской Программы-приложения AutoCAD. Показаны графики кривизны светло-синего цвета.

Как видно на рис. 2, график кривизны NURBS кривой, построенной командой _SPLINE AutoCAD, имеет выраженную осцилляцию кривизны на участке выхода на окружность большего диаметра. Кривая, построенная командой V_Curve авторской Программы-приложения AutoCAD, имеет менее выраженную осцилляцию кривизны на этом участке.
Касательная ломаная как геометрический определитель обладает важным свойством: дуга моделируемой кривой полностью содержится в пределах соприкасающегося треугольника, образованного смежными звеньями. При редактировании формы кривой это чрезвычайно удобно.
Пусть та же исходная ломаная будет теперь касательной ломаной. Первое и последнее звено укоротим в два раза (точка касания этих звеньев к окружности должна совпадать с первой / последней точкой звеньев). На рис. 3 слева определена v-кривая. Спрямление кривой на длинном участке касательной ломаной следовало ожидать, так как кривая всегда содержится в пределах треугольника из смежных звеньев. Поэтому для увеличения полноты на этом участке добавим дополнительную вершину, представляя параболу, которая должна пройти в этом соприкасающемся треугольнике. Построим на модифицированной касательной ломаной v-кривую. Получили профиль с идеальным графиком кривизны!



а) б)
Рис. 3. V-кривые на касательной ломаной а) на исходной ломаной, b) на ломаной с добавленной точкой построенные командой V_Curve авторской Программы-приложения AutoCAD.

Предлагается следующий способ улучшения геометрических характеристик профилей плоских выпуклых кулачков:
- строится профиль традиционным методом (определяются макропараметры);
- на профиле строится касательная ломаная (точки которой располагают как можно реже), достаточно точно аппроксимирующая профиль. Касательная ломаная ограничивает линию профиля в пределах выпуклой ломаной;
- на касательной строится v-кривая с помощью авторской Программы-приложения AutoCAD;
- производится анализ графиков кривизны, анализ динамических характеристик кулачкового механизма, контроль соответствия макропараметрам;
- редактируется v-кривая на геометрическом определителе вида касательной ломаной с помощью авторской Программы-приложения AutoCAD.

Ниже показан вариант геометрического улучшения профиля кулачка распредвала (рис. 4). Для сравнения показаны кулачок FIAT с дефектом профиля [1] (см. рис. 4,а), кулачок, исправленный по методу Рожкова [2] (см. рис. 4,б), кулачок, профилированный по предлагаемому методу (см. рис. 4,в).



а)                                                         б)                                                                     в)

Рисунок 4 а) кулачок FIAT; б) кулачок Рожкова А.П.;
в) кулачок, профилированный командой V_Curve
Анализируя приведенные на рис. 4 кулачки, можно прийти к выводу, что кулачок, профилированный командой V_Curve по своей геометрии имеет график кривизны более плавный, без резких скачков и спадов, чем у сравниваемых аналогов (кулачок FIAT, кулачок Рожкова А.П).

Библиографический список

1. Кулачки анфас и в профиль // Журнал “За рулем”, май 5, 97. –С.162-163.
2. Рожков А.П. Кулачок привода клапана. Авторское свидетельство №1237778, приоритет от 5 сентября 1983 г., зарегистрирован 15 февраля 1986, с 1 июля 1991 выдан патент взамен авторского свидетельства.
3. Neamtu M. et al. Designing NURBS Cam Profiles using Trigonometric Splines / Neamtu M., Pottmann H., Schumaker L // Электронный ресурс http://citeseerx.ist.psu.edu.
4. Муфтеев В.Г., Марданов А.Р. Геометрическое моделирование кривых линий высокого качества // Прикладная геометрия. Applied Geometry [Электронный ресурс]: науч. журн. / Моск. авиационный ин-т (гос.техн.университет) "МАИ". - Электрон. журн. - Москва: МАИ, 2006. - №18; вып.8, –Режим доступа к журн.: http://www.mai.ru. – Загл. с титул.-стр. 37-66.