Applied Geometry. Robust Geometrical modeling of Fair NURBS Curves and Surfaces.
Прикладная геометрия. Геометрически устойчивое моделирование NURBS кривых и поверхностей высокого качества.
Прикладная библиотека КОМПАС ГРАФИК FairCurveModeler моделирования кривых линий высокого качества
Содержание
Назначение
Функции:
1. Рациональная кривая Безье
2. NURBS кривая
3. Графики кривизны и центров кривизны
Ограничения
Рекомендации по моделированию и редактированию NURBS кривой
Примеры
Назначение
Программа может использоваться при проектировании технических объектов с криволинейными динамическими поверхностями, активно взаимодействующими со средой. К таким техническим объектам относятся объекты, проектируемые в авиастроении, судостроении, автомобилестроении, в сельхозмашиностроении. К геометрическим характеристикам динамических поверхностей предъявляются высокие требования.
Методы моделирования кривых линий и поверхностей должны обеспечить высокий порядок непрерывности и заданный закон изменения кривизны по направлению потока среды.
Программа FairCurveModeler предназначена для моделирования кривых линий высокого качества на плоскости.
Для работы с программой FairCurveModeler должен быть открыт фрагмент, чертеж или эскиз в пространстве модели.
Функции
Рациональная кривая Безье.
NURBS кривая.
Графики кривизны и центров кривизны.
1. Рациональная кривая Безье
Команда строит v-кривую на исходном геометрическом объекте вида ломаной.
При восстановлении v-кривой на точечном каркасе v-кривая точно проходит через точки. При восстановлении v-кривой на касательной ломаной v-кривая соприкасается со звеньями исходной ломаной.
Для представления v-кривой на чертеже в системе КОМПАС используется шаблон v-кривой в виде кубической рациональной кривой Безье (NURBzS шаблон).
2. NURBS кривая
Для расширения возможностей редактирования v-кривой линии в качестве шаблона v-кривой в системе КОМПАС может использоваться NURBS кривая степени 8. NURBzS шаблон v-кривой изогеометрически (с точностью до заданной формы) аппроксимируется посредством NURBS кривой.
В общем случае b-сплайновая кривая точно проходит через точки v-кривой. На участках кривой перехода на прямолинейность при сохранении изогеометричности точность аппроксимации меньше.
Посредством управляющих точек NURBS кривой можно более гибко редактировать кривую с сохранением высокого порядка непрерывности кривой.
3. Графики кривизны и центров кривизны
Для анализа качества кривых линий выводятся графики кривизны и центров кривизны. Графики выводятся в виде геометрических объектов. По запросу пользователя программа удаляет графики или оставляет в чертеже.
Внимание. В программе FairCurveModeler степень 3 (порядок 4) зарезервирована за рациональной кубической кривой Безье. При анализе NURBS кривой степени 3 (порядка 4) геометрического объекта КОМПАС графики кривизны и центров кривизны не будут соответствовать истинным графикам.
Ограничения
При восстановлении v-кривой накладываются определенные ограничения на форму исходных ломаных (опорных или касательных ломаных):
1) Угол между смежными звеньями ломаной должен быть больше 90 градусов;
2) Граничные касательные векторы не должны противоречить форме ломаной. Это значит, что
- проекция вектора на звено ломаной должна быть положительной;
- ориентация вектора и инцидентного звена и ориентация смежных звеньев ломаной должны быть одного знака;
- касательный вектор не должен совпадать с направлением первого / последнего звена ломаной;
- нельзя задавать касательный вектор, если в начале / конце ломаной задан прямолинейный участок;
3) Прямолинейный участок v-кривой задается не менее чем 3-мя точками, лежащими на одной прямой. При этом точки геометрически точно должны лежать на прямой линии.
4) Не должно быть совпадающих точек;
5) Выпуклый участок должен определяться не менее чем 3-мя звеньями ломаной. То есть не допускается "пилообразная” форма ломаной;
6) Количество точек ломаной должно быть не меньше 5 точек.
При нарушении этих ограничений фиксируется ошибка и выводится соответствующее сообщение.
Рекомендации по моделированию и редактированию NURBS кривой
Совет 1! 1) Увеличение угла треугольника смежных вершин управляющей ломаной локально уменьшает кривизну. 2) M вершин на прямой определяют прямолинейный участок, где M больше степени NURBS кривой.
Совет 2! Три граничные вершины управляющей ломаной определяют: 1) касательную и 2) кривизну. Три граничные вершины на прямой линии определяют нулевую кривизну. Величина кривизны пропорциональна площади треугольника, составленного из граничных вершин.
Совет 3! Для плавного выхода кривой на фиксированный круг кривизны рекомендуется несколько граничных точек основной ломаной построить на этом круге кривизны. При построении кривой на касательной ломаной рекомендуется несколько последних звеньев построить касательными к кругу кривизны.
Примеры
Для проверки работоспособности и тестирования функций программы приведены примеры. Эти примеры можно использовать и для быстрого обучения работе с программой.
1. Восстановление v-кривой на точках окружности
1.1. С аппроксимацией рациональной кривой Безье
1.2. С аппроксимацией NURBS кривой
2. Восстановление v-кривой на касательной ломаной к окружности
2.1. С аппроксимацией рациональной кривой Безье
2.2. С аппроксимацией NURBS кривой
3. Восстановление v-кривой на точках спирали Корню (клотоиды) с использованием объектов - граничных параметров
3.1. С аппроксимацией рациональной кривой Безье
3.2. С аппроксимацией NURBS кривой
1. Восстановление v-кривой на точках окружности
1.1. С аппроксимацией рациональной кривой Безье
Загрузите в КОМПАС фрагмент "Пример 1 а”.
На фрагменте слева показан результат восстановления v-кривой и построения рациональной кривой Безье на исходной кривой Безье, узловые точки которой сняты с окружности, формирования графиков кривизны и центров кривизны. Геометрические объекты распределены по слоям
Выполните эти операции на исходном геометрическом объекте, представленном справа на фрагменте.
1). Подключите библиотеку FairCurveModeler 2D.rtw.
2). Для построения рациональной кривой Безье отработайте пункты Библиотеки->FairCurveModeler 2D ->Рациональная кривая Безье. На запрос системы укажите на фрагменте справа кривую Безье.
3). Для анализа качества полученной v-кривой отработайте пункты Библиотеки->FairCurveModeler 2D -> Графики кривизны и центров кривизны. На запрос системы укажите построенную рациональную кривую Безье. На чертеже появится изображения графиков кривизны и центров кривизны. Поскольку v-кривая и рациональная кривая Безье точно моделируют окружность и кривые второго порядка, то график центров кривизны выродится в точку.
1.2. С аппроксимацией NURBS кривой
Загрузите в КОМПАС фрагмент "Пример 1 б”.
На фрагменте слева показан результат восстановления v-кривой и построения NURBS кривой на исходной кривой Безье, узловые точки которой сняты с окружности, формирования графиков кривизны и центров кривизны. Геометрические объекты распределены по слоям.
Выполните эти операции на исходном геометрическом объекте, представленном справа на фрагменте.
1). Подключите библиотеку FairCurveModeler.rtw.
2). Для построения NURBS кривой отработайте пункты Библиотеки->FairCurveModeler->NURBS кривая. На запрос системы укажите на фрагменте справа кривую Безье.
3). Для анализа качества построенной кривой отработайте пункты Библиотеки->FairCurveModeler 2D -> Графики кривизны и центров кривизны. На запрос системы укажите построенную NURBS кривую. На чертеже появится изображения графиков кривизны и центров кривизны. Поскольку v-кривая точно моделирует окружность и кривые второго порядка, а NURBS кривая достаточно точно аппроксимирует v-кривую, то график центров кривизны будет близок к точке.
4). Попробуйте отредактировать NURBS кривую перемещением управляющих точек. Проанализируйте качество кривой выводом графиков кривизны. Убедитесь, что сохраняется непрерывность и плавность изменения кривизны
2.Восстановление v-кривой на касательной ломаной к окружности
2.1. С аппроксимацией рациональной кривой Безье
Загрузите в КОМПАС фрагмент "Пример 2 а”.
На фрагменте слева показан результат восстановления v-кривой и построения рациональной кривой Безье на исходной касательной ломаной к окружности, формирования графиков кривизны и центров кривизны.
Выполните эти операции на исходном геометрическом объекте, представленном справа на фрагменте.
1). Подключите библиотеку FairCurveModeler.rtw.
2). Для построения рациональной кривой Безье отработайте пункты Библиотеки->FairCurveModeler 2D ->Рациональная кривая Безье. На запрос системы укажите на фрагменте справа ломаную.
3). Для анализа качества построенной кривой отработайте пункты Библиотеки->FairCurveModeler 2D -> Графики кривизны и центров кривизны. На запрос системы укажите построенную рациональную кривую Безье. На чертеже появится изображения графиков кривизны и центров кривизны. Поскольку v-кривая точно моделирует окружность и кривые второго порядка, то график центров кривизны выродится в точку.
2.2. С аппроксимацией NURBS кривой
Загрузите в КОМПАС фрагмент "Пример 2 б”.
На фрагменте слева показан результат восстановления v-кривой и построения NURBS кривой на исходной касательной ломаной к окружности, формирования графиков кривизны и центров кривизны.
Выполните эти операции на исходном геометрическом объекте, представленном справа на фрагменте.
1). Подключите библиотеку FairCurveModeler.rtw.
2). Для построения NURBS кривой отработайте пункты Библиотеки->FairCurveModeler-> NURBS кривая. На запрос системы укажите на фрагменте справа ломаную.
3). Для анализа качества построенной кривой отработайте пункты Библиотеки->FairCurveModeler 2D -> Графики кривизны и центров кривизны. На запрос системы укажите построенную NURBS кривую. На чертеже появится изображения графиков кривизны и центров кривизны. Поскольку v-кривая точно моделирует окружность и кривые второго порядка, а NURBS кривая достаточно точно аппроксимирует v-кривую, то график центров кривизны будет близок к точке.
4). Попробуйте отредактировать b-сплайновую кривую перемещением управляющих точек. Проанализируйте качество кривой выводом графиков кривизны. Убедитесь, что сохраняется непрерывность и плавность изменения кривизны.
3. Восстановление v-кривой на точках спирали Корню (клотоиды) с использованием объектов - граничных параметров
3.1. С аппроксимацией рациональной кривой Безье
Загрузите в КОМПАС фрагмент "Пример 3 а”. На фрагменте (рис. 5) слева показаны исходные данные, состоящего из отрезка, точек спирали Корню и окружности (объекты размещены в 0-ом слое). Затем построен макроэлемент, составленный из отрезка, кривой Безье и окружности (в слое "Макроэлемент”). Узловые точки кривой Безье сняты с отрезка, спирали и окружности, являющейся кругом кривизны спирали. Затем на макроэлементе, составленном из кривой Безье и граничных объектов вида отрезка и окружности, построена v-кривая и аппроксимирована рациональной кривой Безье (слой "Рац кривая Безье”). Выведены графики кривизны и центров кривизны (слой "Кривизна”).
Выполните эти операции на исходном геометрическом объекте, представленном справа на фрагменте.
1). Подключите библиотеку FairCurveModeler 2D.rtw.
2) Выделите последовательно отрезок, кривую Безье, окружность и объедините их в макроэлемент.
3). Отработайте пункты Библиотеки->FairCurveModeler->Рациональная кривая Безье. На запрос системы укажите на фрагменте справа макроэлемент. В результате на чертеже появится изображение рациональной кривой Безье.
4). Проверьте качество построенной рациональной кривой Безье. Отработайте пункты Библиотеки->FairCurveModeler 2D -> Графики кривизны и центров кривизны. На запрос системы укажите рациональную кривую Безье. На чертеже появится изображения графиков кривизны и центров кривизны. Графики кривизны показывают плавное изменение кривизны по длине кривой от нулевого значения до значения кривизны граничной окружности.
3.2. С аппроксимацией NURBS кривой
Загрузите в КОМПАС фрагмент "Пример 3 б”.
На фрагменте слева показаны исходные данные, состоящего из отрезка, точек спирали Корню и окружности (объекты размещены в 0-ом слое). Затем построен макроэлемент, составленный из отрезка, кривой Безье и окружности (в слое "Макроэлемент”). Узловые точки кривой Безье сняты с отрезка, спирали и окружности, являющейся кругом кривизны спирали. Затем на макроэлементе, составленном из кривой Безье и граничных объектов вида отрезка и окружности, построена v-кривая и аппроксимирована NURBS кривой (слой "NURBS кривая ”). Выведены графики кривизны и центров кривизны (слой "Кривизна”).
Выполните эти операции на исходном геометрическом объекте, представленном справа на фрагменте.
1). Подключите библиотеку FairCurveModeler.rtw.
2). Отработайте пункты Библиотеки->FairCurveModeler-> NURBS кривая. На запрос системы укажите на фрагменте справа макроэлемент. В результате на чертеже появится изображение NURBS кривой.
3). Проверьте качество построенной NURBS кривой. Отработайте пункты Библиотеки->FairCurveModeler-> Графики кривизны и центров кривизны. На запрос системы укажите NURBS кривую. На чертеже появится изображения графиков кривизны и центров кривизны. Графики кривизны показывают плавное изменение кривизны по длине кривой от нулевого значения до значения кривизны граничной окружности.
4). Попробуйте отредактировать NURBS кривую перемещением управляющих точек. Проанализируйте качество кривой выводом графиков кривизны. Добейтесь плавного монотонного изменения кривизны.
