Лабораторная работа. Подготовка NURBS шаблонов аналитических кривых для CAD-систем

Аналитические кривые

В инженерных задачах могут потребоваться аналитические кривые со специфическими свойствами. Такие кривые могут быть выведены аналитически из решения конкретных инженерных задач.

Мощным резервом дизайнера является целая палитра аналитических кривых, т.н. замечательных кривых.

NURBS шаблоны кривых.

В настоящее время в CAD-системах в качестве шаблонов аналитических кривых (в качестве универсального внутреннего представления кривых) используются NURBS-кривые.

К NURBS кривым точным образом приводятся кривые второго порядка.

К NURBS кривым аппроксимационно приводятся пространственные спирально-винтовые линии, эквидистанты к плоским кривым.

При аппроксимации аналитических кривых сплайнами можно использовать не только ломаные опорных точек, но и дифференциальные характеристики аналитических кривых в этих точках. Такая схема аппроксимации называется аппроксимацией по схеме Эрмита.

Для геометрически устойчивой аппроксимации аналитических кривых авторами был предложен метод аппроксимации геометрическим сплайном в формате NURBzS кривой [1]. В качестве исходных данных используется геометрический определитель Эрмита - опорная ломаная с фиксированными касательным и векторами кривизны в точках опорной ломаной.

В качестве примера аппроксимации аналитической кривой в данной работе используется клотоида (спираль Корню) [2]. Клотоида обладает поистине замечательным свойством: линейным законом изменения кривизны по длине кривой, начиная с нулевого значения. Клотоидные сплайны 2-го порядка гладкости (сплайны составленные из отрезков, окружностей и дуг клотоиды) находят широкое применение при проектировании технических объектов с функциональными кривыми и поверхностями.

Считается также, что дуга упругой рейки (физического сплайна) между двумя грузиками из набора грузиков, фиксирующих форму физического сплайна, имеет линейный закон изменения кривизны [2]. То есть точно аппроксимируется дугой клотоиды.

Дуга клотоиды была использована авторами в качестве направляющей кривой для моделирования рабочей поверхности отвала плуга по схеме проф. Щучкина [3].

Построение NURBS шаблона клотоиды. Методические указания.

Формула клотоиды (спирали Корню)

Подготовим участок клотоиды на отрезке 0<= t <= 3

Вычислим первые и вторые производные

Вычислим кривизну

График участка клотоиды на отрезке 0<= t <= 3

График кривизны клотоиды

Введем функцию кривизны в квадрате по длине кривой

Интегрируем квадрат кривизны по длине

Итак, потенциальная энергия кривой = 89.271

Для построения NURBzS сплайна по схеме Эрмита подготовим опорную ломаную из 21 точек с фиксированными касательными векторами и значениями кривизны

Опорные точки

Векторы первых производных (касательные векторы)

Кривизна

Значения задаются в координате X

Векторы кривизны

Для плоской кривой задаются нулевые векторы

График ломаной

График кривизны

Подготовим таблицу параметров клотоиды для web-приложения FairCurveModeler на листе Excel

Insert > Component > Excel > Microsoft Excel >

Create an Empty Excel worksheet > Inputs - установите 12 > Outputs - установите 0 > В местозаполнителях введите переменные
RX, RY, RZ, RDX, RDY, RDZ, RKX, RKY, RKZ, RVKX, RVKY, RVKZ

Щелкните дважды по таблице.

Выделите область с параметрами на появившемся листе Excel. Нажмите ПК мыши на листе

Перенесите таблицу с параметрами в CAD-системы AutoCAD или КОМПАС 3D штатными средствами CAD-систем.

Библиография

1. Муфтеев В.Г. Моделирование кривых высокого качества на основе метода v-кривых. Прикладная геометрия. Applied Geometry [Электронный ресурс]: науч. журн. / Моск. авиационный ин-т (гос.техн.университет) "МАИ". - Электрон. журн. - Москва : МАИ, 2007. - №19; вып.9, -стр. 25-74. - Режим доступа к журн.: http://www.mai.ru. - Загл. с титул. экрана. - №гос.регистрации 019164.

2. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве / Пер. с англ. М.: Мир, 1982. -304 с

3. Мударисов С.Г., Муфтеев В.Г., Фархутдинов И.М. Геометрическое моделирование динамических поверхностей рабочих органов сельскохозяйственных машин. Материалы Всероссийской научно-практ. Конф. "Актуальные проблемы агропромышленного комплекса", посвящ. 65-летию Ульяновской ГСХА и 20-летию кафедры безопасности жизнедеятельности и энергетики 6-8 февраля 2008 г. - Ульяновск. С. 136-143.